§7 · Кривые

Три полноправных типа кривых: Conic (матрица 3×3, 9 ветвей классификации), Function (y = f(x) с sympy-парсингом и автоматическими асимптотами), ImplicitCurve (F(x, y) = 0 через marching squares). Все читают те же ключи стилей, что и линии: stroke, stroke_width_px, fill, z_index.

Три типа кривых

Conic (ELLIPSE)

Conic (HYPERBOLA)

Function · асимптота

ImplicitCurve

Conic — конические сечения

Создание

В DSL поддерживается строковая форма:

g1 = Conic("x^2 + y^2 = 4")                # → CIRCLE
g2 = Conic("(x+1)^2/4 + y^2/2 = 1")        # → ELLIPSE
g3 = Conic("y = (x - 0.3)^2")              # → PARABOLA
g4 = Conic("x^2/2 - y^2 = 1")              # → HYPERBOLA
g5 = Conic("x^2 - y^2 = 0")                # → INTERSECTING_LINES

Тип классифицируется лениво при первом обращении к conic.type — по инвариантам ранга матрицы и знака det(M₃₃). Кэшируется.

Эллипс: fill поддерживается

ellipse.py · правьте уравнение; стили — через overrides

ell = Conic("(x+0.3)^2 / 5 + (y-0.2)^2 / 2.2 = 1")

ell.style.fill = '#d6e5f6'
ell.style.fill_opacity = 0.55
ell.style.stroke = '#4d87c6'
ell.style.stroke_width_px = 2.2

Скачать: ellipse.py

Окружность: пунктир через stroke_dash_ratio

Пунктир окружности, как и любой линии, рисуется одним контуром с паттерном (stroke-dasharray в SVG).

circle-dashed.py · попробуйте убрать stroke_dash_ratio

c = Conic("x^2 + y^2 = 6")

c.style.stroke = '#4d87c6'
c.style.stroke_width_px = 2.0
c.style.stroke_dash_ratio = 0.5

Скачать: circle-dashed.py

Парабола: viewport-clipping

Парабола бесконечна. Чтобы sampler не тратил точки на невидимые участки, аналитически вычисляется диапазон параметра |u| ≤ 2√(p·v_max), где v_max — максимальная проекция оси на видимую область (viewport_t_ranges_parabola в geo/curve_sampling.py).

parabola.py

parab = Conic("y - 0.4 = (x - 0.3)^2 / 1.6")

parab.style.stroke = '#4d87c6'
parab.style.stroke_width_px = 2.2

Скачать: parabola.py

Гипербола: две ветви, каждая независимо

Для HYPERBOLA рендер строит две ветви (sign = ±1), для каждой аналитически сужает диапазон параметра до пересечения с viewport (|t| ≤ min(acosh(u_max/a), asinh(v_max/b))), затем вызывает sample_parametric.

hyperbola.py

hyp = Conic("x^2 / 1.8 - y^2 / 1.2 = 1")

hyp.style.stroke = '#4d87c6'
hyp.style.stroke_width_px = 2.2

Скачать: hyperbola.py

Вырожденные коники

INTERSECTING_LINES, PARALLEL_LINES, DOUBLE_LINE раскладываются на обычные Line-объекты, обрезанные viewport'ом. POINT становится Dot. EMPTY не рисует ничего.

Производные свойства коник

На базе Conic доступны команды:

O   = Center(ell)          # центр
F1  = Focus(hyp)            # первый фокус
V   = Vertex(parab)         # вершина
d   = Directrix(parab)      # директриса (Line)
e   = Eccentricity(hyp)     # эксцентриситет (число)
pol = Polar(P, conic)       # поляра точки
tg  = Tangent(P, conic)     # касательная из внешней точки

Стилизация этих элементов — по их типу (Line/Point), см. §3.

Function — явные y = f(x)

Парсинг

Три эквивалентных способа создать функцию:

# 1. Строковая форма — парсится sympy
f1 = Function("y = x^2 - 3")

# 2. DSL-сугар: f(x) = expr
#    (preprocessor переписывает в Function("y = ..."))
f2(x) = x^2 - 3

# 3. Любое имя переменной — переименование автоматическое
f3(t) = sin(t) / t

Парсер поддерживает:

• ^ → ** (возведение в степень по-школьному);
• Unicode-компараторы: ≤ → <=, ≥ → >=;
• Цепочки сравнений: -1 ≤ x ≤ 1 → (x ≥ -1) & (x ≤ 1);
• GGB-конструкция If[cond, then, else] → sympy.Piecewise рекурсивно;
• abs(x) и математические функции (sin, sqrt, exp, log, floor, gamma, erf, …; полный список — MATH_FUNCTIONS в geo/safe_sympify.py). Любое другое вызываемое имя — объект построения;
• пропуск знака *: 2x, k x, 2(x + 1), (x + 1)(x - 1), x (x + 1). Запись x(A) без пробела — координата точки A; k(x + 1) с числом k — произведение;
• x(A), y(A) — координаты точки (или вектора);
• вызов другой функции: f(x) = g(x) + 1; область определения g сохраняется — где g не определена, не определена и f;
• π и pi — число π, ℯ — число Эйлера в любой формуле; 2π, πx, 2ℯ — произведения. e — число Эйлера только в функциях и неявных кривых, в уравнении коники или прямой это обычное имя;
• типографские символы: знак минуса −, · и × для умножения, ÷ для деления.

Переменная берётся из левой части: g(t) = t^2 — график t². Формула может упоминать числа построения — слайдеры, измерения, точки (f(x) = a x^2, y(A) (x - x(B))): график перестраивается при их изменении; логическое значение — условие в If(b, x, -x), а в арифметике — 0 или 1. То же работает для Conic, ImplicitCurve и уравнений прямых Line("y = a x + 1") — и в DSL, и при импорте из GeoGebra ((x - x(A))^2 + (y - y(A))^2 = 4 следует за A). Длина формулы — не более 4000 символов; формулы, требующие огромных вычислений (7^(9^9), (10^7)!), отклоняются.

После парсинга выражение один раз пропускается через sympy.lambdify('numpy'); дальше горячий путь — только numpy-вызовы, без sympy.

Базовый случай

basic.py · попробуйте sin, cos, exp

f(x) = x^2 / 2 - 1

f.style.stroke = '#4d87c6'
f.style.stroke_width_px = 2.2

Скачать: basic.py

Асимптоты — автоматическое расщепление

y = 1/x имеет вертикальную асимптоту в x = 0. sympy.singularities находит все такие точки и сохраняет в func.natural_singularities. Рендер делит x-диапазон на подотрезки между соседними singularities, каждый сэмплируется независимо — никакой «соединяющей» линии через бесконечность. У периодической функции (tan, cot, sec, csc) таких точек бесконечно много: берутся те, что не дальше 1000 единиц от начала координат (не больше 1000 в каждом семействе периода).

asymptote.py · попробуйте tan(x) или 1/(x^2 - 1)

f(x) = 1 / x

f.style.stroke = '#f15b5b'
f.style.stroke_width_px = 2.2

Скачать: asymptote.py

Piecewise через If[...]

GGB-синтаксис If[-2 ≤ x ≤ 2, x² - 1] переводится в sympy.Piecewise((x² - 1, (x ≥ -2) & (x ≤ 2)), (nan, True)). Вне области — NaN, sampler обрывает полилинию.

piecewise.py

f(x) = If[-2 <= x <= 2, x^2 - 1]

f.style.stroke = '#4d87c6'
f.style.stroke_width_px = 2.5

Скачать: piecewise.py

from animageo.geo.lib_function import Function
f = Function('x**2 - 1', domain=(-2, 2))

Несколько функций, разные стили

trio.py · три гармоники

f(x) = sin(x)
g(x) = sin(2 * x) / 2
h(x) = sin(3 * x) / 3

f.style.stroke = '#4d87c6'
f.style.stroke_width_px = 2.2
g.style.stroke = '#f15b5b'
g.style.stroke_width_px = 1.6
h.style.stroke = '#58c57e'
h.style.stroke_width_px = 1.2

Скачать: trio.py

ImplicitCurve — F(x, y) = 0

Когда нужно

Если кривая не раскрывается как y = f(x) (лемниската, декартов лист, кардиоида) и sympy-классификация не даёт ветви Conic — используется ImplicitCurve. Уравнения вида LHS = RHS нормализуются в LHS − RHS = 0 автоматически.

L = ImplicitCurve("(x^2 + y^2)^2 = 4 * (x^2 - y^2)")   # лемниската
F = ImplicitCurve("x^3 + y^3 = 3 * x * y")             # декартов лист
S = ImplicitCurve("sin(x) + cos(y) = 0.5")             # периодический паттерн

Marching squares

Рендер строит сетку 128×128 внутри viewport, для каждой ячейки смотрит знаки F в 4 углах, по 16-позиционной таблице восстанавливает отрезок контура. Сложность O(grid_n²), память константна. Это значит:

• Нет адаптивности к локальной кривизне — на 128×128 у очень гладких кривых можно заметить едва видимое «ступенчатое» пересечение диагоналей ячеек.
• Самопересечения (фолиум в начале координат) нативно корректны — они дают две пересекающиеся пары отрезков.
• Области, где F → NaN (sqrt(-y) при y > 0), пропускаются автоматически.

lemniscate.py

L = ImplicitCurve("(x^2 + y^2)^2 = 4 * (x^2 - y^2)")

L.style.stroke = '#4d87c6'
L.style.stroke_width_px = 2.2

Скачать: lemniscate.py

folium.py · декартов лист

F = ImplicitCurve("x^3 + y^3 = 3 * x * y")

F.style.stroke = '#f15b5b'
F.style.stroke_width_px = 2.0

Скачать: folium.py

Стилевые ключи

Рендер читает тот же набор ключей, что у линий. Дефолты — из StyleConfig + resolver:

Параметры сэмплирования

Все значения фиксированы в коде. Приведены для справки.

Особенности рендера